Matematika Dasar - Himpunan

Assalamu'alaikum sobat Ifan. Kali ini saya akan share ilmu yang saya dapat mengenai Himpunan pada mata kuliah Matematika Dasar. Kalian tahu kan bahwasannya matematika adalah suatu pengetahuan yang sangat penting dalam menunjang pengetahuan lain. Misalnya, di bidang teknik, ekonomi, ilmu sosial, serta matematika dari ilmu pengetahuan alam sendiri. Nah, sebagai mahasiswa, terutama saya yang sedang menuntut ilmu pengetahuan di salah satu perguruan tinggi, harus mempelajari matematika, paling tidak matematika dasar. Itulah sebabnya, saya akan memulai untuk membagi ilmu pengetahuan yang saya dapatkan dari salah satu buku referensi saya ke sobat-sobat sekalian. Untuk sekarang, saya mulai dari yang namanya himpunan.

Pada tahun 1851, Bolzano, seorang matematikawan Italia, menulis suatu karya berjudul Paradoxes of The Infinite, di mana ia memulai suatu pengembangan dari set theory (teori himpunan). Ia mengambil langkah pertama untuk menjawab pertanyaan-pertanyaan yang memusingkan mengenai ketakterhinggaan yang telah menyusahkan matematikawan-matematikawan dan ahli-ahli filsafat selama lebih dari 2000 tahun. Sepanjang akhir abad ke-19, karya Bolzano telah dikembangkan oleh matematikawan Jerman bernama George Cantor, yang sekarang biasanya dianggap sebagai bapak dari teori himpunan.

Dasar dari semua cabang matematika modern adalah konsep himpunan. Banyak pernyataan-pernyataan verbal yang kaku dalam matematika yang dapat diekspresikan secara jelas, singkat, dan secara simbolik dalam istilah-istilah dari himpunan dan operasi-operasi himpunan.

Apa sih definisi dari himpunan?

Himpunan adalah suatu kumpulan/koleksi dari objek-objek sebarang. Cara pengumpulan objek-objek tersebut biasanya berdasarkan sifat/keadaan mereka yang sama, atau pun berdasarkan aturan tertentu/yang ditentukan.

Contoh himpunan itu bagaimana?

Nah untuk contohnya seperti:

1. Himpunan yang terdiri dari mahasiswa-mahasiswa Yogyakarta
2. Himpunan dari semua bilangan asli yang lebih besar dari 7
3. Himpunan yang terdiri dari sapi, ayam, dan kambing

Perlu kalian catat:

• Objek-objek pada himpunan disebut dengan elemen (unsur anggota) himpunan dan biasanya dinyatakan dengan huruf kecil, misalnya a, b, p, dan x.
• Suatu himpunan biasanya dinyatakan dengan huruf besar, misalnya himpunan A, B, P, dan Y.
• Jika a merupakan elemen dari himpunan A, sedangkan b bukan merupakan elemen dari himpunan A, maka kita dapat menuliskan sebagai a ∈ A, b ∉ A

Perlu kalian ketahui juga bahwasannya penulisan suatu himpunan ada 2 bentu, sebagai berikut:

(1). Bentuk pendaftaran (tabular-form), yaitu dengan menuliskan semua elemen himpunan tersebut di dalam kurung kurawal. Sebagai contoh:

Himpunan A = {Jakarta, Medan, Surabaya}

Himpunan N = {1, 2, 3, ...}

Himpunan P = {0, 12, IV, σ}

(2). Bentuk pencirian (set-builder form), yaitu dengan menuliskan sifat/ketentuan mengenai elemen himpunan tersebut. Sebagai contoh:

Himpunan S = {x | x adalah bilangan genap}
Himpunan T = {x | x adalah pelajran yang pandai}

Contoh:
Kita dapat mengubah penulisan himpunan dari tabular-form ke set-builder form atau sebaliknya. Misalnya, M = {x | x adalah nama hari dalam satu minggu} = {Senin, Selasa, Rabu, Kamis, Jumat, Sabtu, Minggu}

Perlu kalian ketahui:

1. Suatu himpunan disebut berhingga apabila banyak anggotanya (yang berbeda) berhingga. Jika banyak anggotanya tak berhingga disebut himpunan tak berhingga
2. Anggota-anggota yang sama, cukup dihitung sekali. Himpunan yang tidak mempunyai anggota disebut himpunan hampa (kosong) dinyatakan dengan Φ

Contoh:
Himpunan Φ: A = {x | x^2 = 9, x genap}
Tidak memiliki anggota karena akar dari 9 hanya +3 atau -3, dan keduanya bukanlah bilangan genap.

Lalu, himpunan A dan B dikatakan sama (A = B) jika kedua himpunan tersebut mempunyai anggota-anggota yang sama.

Contoh:

A = {2,1,4}, B = {4,1,2}, maka A = B

Himpunan A dikatakan himpunan bagian (subset) dari himpunan B, apabila setiap anggota dari A juga merupakan anggota dari B. Ditulis A ⊂ B (atau B merupakan himpunan super/superset dari A, B ⊃ A).

Contoh:
P = {1,2,4}, Q = {1,4,5,2}, maka P ⊂ Q (jelas karena setiap anggota dari P adalah anggota dari Q juga).

Dapat disimpulkan bahwa A = B jika dan hanya jika A ⊂ B dan B ⊂ A, sedangkan dua himpunan A dan B dikatakan dapat diperbandingkan (comparable) bila A ⊂ B atau B ⊂ A

Naah perlu kalian tahu juga bahwasannya, 2 himpunan disebut saling lepas (saling asing/disjoint) bila tidak memiliki anggota bersama.

Okee sobat, cukup sekian dulu penjelasan tentang himpunan dalam matematika dasar. Materi-materi lainnya inshaaAllah akan menyusul hehehe. Mudah-mudahan bermanfaat ya sobat! Wassalamu'alaikum.

Tweet